Мать Арины – Валентина Лебедева также была связана с миром кино и работала на киностудии «Ленфильм» монтажёром. Уже в школьные годы Арина и её старший брат Тарас решили пойти по стопам родителей и работать в сфере кино.
После школы Арина окончила ВГИК и получила диплом актрисы, её брат Тарас в том же творческом вузе отучился на кинооператора. В кино юная артистка дебютировала в 1962 году в кинофильме «Течёт Волга» (снималась в эпизоде). Когда Арине было 22 года, от рака лёгких умер её отец – Пётр Мартынович.
Артистка известна по фильмам 60-70-ых годов ХХ века. Фильмография Арины Петровны небольшая, в ней всего 31 кинопроект, в которых она чаще всего играла второстепенные и эпизодические роли. Последним фильмом в кинокарьере актрисы стал проект «Клуб женщин», снятый в 1987 году. Всесоюзной известности Арина так и не добилась по сравнению с её талантливым отцом, который вошёл в историю советского кино.
Артистку постоянно сравнивали с ее знаменитым родителем, из-за этого Алейникова сильно переживала.
О личной жизни Арины Петровны почти ничего не известно. За всю жизнь артистка ни разу не дала интервью и не участвовала в телепередачах, где рассказала бы о себе. Телезрители могли увидеть актрису в двух документальных фильмах об её отце, вышедших на телеэкраны в 1974 и 2009 годах. В этих проектах артистка также ни слова не сказала о своей личной жизни, а рассказывала только о своём знаменитом родственнике, Петре Мартыновиче.
Известно, что в конце 1980-ых годов Арина Петровна перестала сниматься. На тот момент она уже была замужем и имела дочерей. Финансовое положение семьи оставляло желать лучшего. Однако после актриса со своей семьёй переехала на постоянное место жительства в США, где и по сегодняшний день проживает. В Соединённых Штатах Арина Петровна не нашла работы по специальности, поэтому определённый период трудилась в качестве социального работника, ухаживала за больными детьми и пожилыми людьми.
Сегодня актриса по-прежнему живёт в Америке, ведёт непубличную затворническую жизнь, не рассказывая о себе, муже и детях.
