Вопросы

Можно и так, и так.

Для подстраховки Вам необходимо было на втором экземпляре заявления получить визу руководителя или водящие номер и дату. Завизированный экземпляр Вы должны были оставить у себя. Будем надеяться, что всё будет хорошо.

Я не юрист, но, по-моему, срок начинает считаться после даты официальной регистрации во входящей корреспонденции (при личной передаче заявления). Заявление могут не подписывать, но через 2 недели обязаны Вас рассчитать и выдать трудовую книжку. При заболевании срок увольнения увеличивается на время болезни.

Для уверенности, что увольнение произойдёт в согласованные сроки, Вам было необходимо на втором (своём) экземпляре заявления иметь входящий номер, а лучше, дополнительно визу руководителя. Или послать заявление почтой с уведомлением о вручении и описью в требуемые законом сроки. Проведите эту процедуру заново и тогда Вы будете спокойны.