нужно ли платить бабушке

Нет правильного ответа на этот вопрос. Индивидуально.
Моя подруга с бывшим мужем платила "ипотеку" за квартиру родителей мужа. Ежемесячно, приличную сумму относили родителям мужа за то, что они предоставили им отдельную недешевую квартиру. Как в банк, без задержек платежей. При том, что при ипотеке вы имеете право прописаться в ипотечную квартиру, а им не давали это право:) Как выплатите-пропишут.
Так что и тут, если бы мама такое сказала( но моя не скажет)))), я бы начала платить. Она в принципе не обязана это делать, но помогает вам с ребенком.
Представьте, что она с чужим ребенком сидит, любая работа стоит денег.