Михаил родился в простой крестьянской семье, поэтому с раннего возраста был приучен к тяжелому труду. С образованием у Пуговкина были проблемы: в школе он отучился лишь несколько лет, после чего ушел.
В дальнейшем семья актера отправилась в Москву. Там он нашел себе должность на заводе, труд был тяжелым. Тем не менее, Михаил находил в себе силы ходить в драматический кружок. Он принимал участие во всех постановках, помогал готовить номера, и ему это действительно нравилось.
Однажды Пуговкина заметил режиссер Федор Каверин, который предложил 16-летнему парню поработать в профессиональном театре. Михаила отправили в запасной состав, но его это вполне устраивало. Он учился у лучших мастеров своего дела и периодически выходил на большую сцену.
Вскоре Пуговкин впервые снялся в кино. В 1940 году ему дали небольшую роль в «Деле Артамоновых». В общей сложности в фильмах и театре Михаил проработал пару лет, а потом в его судьбу вмешалась война. В 1941 году он отправился на фронт, осенью следующего года получил ранение и был комиссован.
Вскоре после возвращения домой актер стал служить в столичном театре драмы и учиться в МХАТе. Он сыграл роли в фильмах «Кутузов», «Свадьба», «Беспокойное хозяйство». Вскоре Михаил стал известен в узких кругах, хотя о настоящей славе речи не шло.
В 1947 году Пуговкин завершил обучение в МХАТе и отправился в театр Северного флота в Мурманске. Затем последовал Вильнюсский театр русской драмы и Театр Ленинского комсомола. Тем не менее, известным Михаил стал именно как актер кино.
В 1960 году Михаил устроился на Мосфильм. Он решил, что кино ему нравится больше, чем театр. Актер особенно запомнился зрителям за роли в фильмах «12 стульев», «Иван Васильевич меняет профессию», «Два капитана».
Пуговкин был женат трижды. Его первой избранницей была Надежда Надеждина, с которой он познакомился еще в студенчестве. Они провели вместе 12 лет, в этом союзе родилась дочь Лена.
Второй супругой актера стала Александра Лукьянченко. Они прожили в браке 32 года, но в 1991 году женщина умерла.
Последней избранницей Михаила была Ирина Лаврова, которая прожила с ним вплоть до 2008 года, когда артист ушел из жизни.
